Revista Quanta

26 de abril de 2023

Kristina Armitage/Revista Quanta

Escritor Colaborador

26 de abril de 2023

A primeira prova que muitas pessoas aprendem, no início do ensino médio, é a prova do antigo matemático grego Euclides de que existem infinitos números primos. Leva apenas algumas linhas e não usa conceitos mais complicados do que números inteiros e multiplicação.

Sua prova baseia-se no fato de que, se houvesse um número finito de primos, multiplicá-los todos juntos e adicionar 1 implicaria na existência de outro número primo. Esta contradição implica que os primos devem ser infinitos.

Os matemáticos têm um passatempo curiosamente popular: provar repetidamente.

Por que se preocupar em fazer isso? Por um lado, é divertido. Mais importante, "acho que a linha entre matemática recreativa e matemática séria é muito tênue", disse William Gasarch, professor de ciência da computação na Universidade de Maryland e autor de uma nova prova publicada online no início deste ano.

A prova de Gasarch é apenas a última de uma longa sucessão de novas provas. Em 2018, Romeo Meštrović, da Universidade de Montenegro, compilou quase 200 provas do teorema de Euclides em uma pesquisa histórica abrangente. De fato, todo o campo da teoria analítica dos números, que usa quantidades continuamente variáveis ​​para estudar os números inteiros, provavelmente se originou em 1737, quando o gigante matemático Leonhard Euler usou o fato de que a série infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ 4 + 1/5 + … diverge (o que significa que não soma um número finito), para provar novamente que há um número infinito de primos.

Christian Elsholtz, matemático da Graz University of Technology, na Áustria, e autor de outra prova recente, disse que, em vez de provar resultados concretos a partir de muitos resultados menores – o que os matemáticos fazem quando sistematicamente montam lemas em teoremas – ele fez o oposto. "Eu uso o Último Teorema de Fermat, que é realmente um resultado não trivial. E então concluo um resultado muito simples." Trabalhar de trás para frente dessa forma pode revelar conexões ocultas entre diferentes áreas da matemática, disse ele.

"Existe uma pequena competição para que as pessoas tenham a prova mais ridiculamente difícil", disse Andrew Granville, matemático da Universidade de Montreal e autor de duas outras provas. "Tem que ser divertido. Fazer algo tecnicamente horrível não é o ponto. A única maneira de querer fazer algo difícil é que seja divertido."

Granville disse que há um ponto sério nessa superação amigável. Os pesquisadores não são apenas alimentados com perguntas que tentam resolver. "O processo de criação em matemática não é apenas definir uma tarefa para uma máquina e a máquina a resolve. É sobre alguém pegar o que fez no passado e usar isso para criar uma técnica e criar uma maneira de desenvolver ideias ."

Como Gasarch coloca, "Todos os artigos, eles seguem de uma nova e atraente prova de que os primos são infinitos para a matemática séria. Um dia você está apenas olhando para os primos e no dia seguinte você está olhando para as densidades dos quadrados."

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William Gasarch, professor da Universidade de Maryland, é o último de uma longa fila de matemáticos a apresentar uma nova prova de que os primos são infinitos.

Evan Golub

A prova de Gasarch começa com o fato de que se você colorir os inteiros com um número finito de cores, sempre haverá um par de números com a mesma cor cuja soma também é aquela cor, o que foi provado em 1916 por Issai Schur. Gasarch usou o teorema de Schur para mostrar que, se houvesse um número finito de primos, então existiria um cubo perfeito (um inteiro, como 125, que é igual a algum outro inteiro multiplicado por ele mesmo três vezes) que é a soma de dois outros cubos perfeitos. Mas em 1770, Euler provou que tal cubo não existe - o caso n = 3 do Último Teorema de Fermat, que postula que não há soluções inteiras para an + bn = cn para n maior que 2. Com base nessa contradição, Gasarch raciocinou que deve haver um número infinito de primos.